Zalecane przeglądarki :FireFox, OPERA, GoogleChrome

Analiza funkcji kwadratowej / Analysis of a quadratic function

Strona będzie analizować funkcję kwadratową DLA TWOICH DANYCH
przy różnym sposobie jej określenia tj:

abc - wzór ogólny funkcji
apq - postać kanoniczna funkcji
x12 - postać iloczynowa
w1p - wierzcholek paraboli i jeden punkt
a2p - jeden wspólczynnik a,b,c i dwa punkty
PPP - trzy punkty
kFd - geometria analityczna k-ierownica i F ognisko

Dla każdego w/w przypadku zostaną podane :

Brakujące postaci: ogólne, kanoniczna, iloczynowa
Zbiór wartości funkcji
Miejsca zerowe
Przedziały monotoniczności
Extrema funkcji
Extrama w zadanym przedziale
Wartości dodatnie lub ujemne
Równanie z parametrem ??
x1 i x2 nalezy do zadanego przedzialu (alfa ,beta) ??

Dana postać ogólna:

Dane typ "abc". Patrz rysunek po prawej stronie

Uwaga ogólna: jeżeli jest zadana funkcja w układzie x1,y1 postaci: y1=f(x1)
i jezeli współrzedne początku tego układu w innym układzie są O1(p,q);
to zachodzi : x1=x-p i y1=y-q to dowolny punkt P(x1,y1) ma wspólrzedne :P(x-p,y-q)
a przepis w/w funkcji w tym ukladzie ma postać: y-q=f(x-p)
tzn y=f(x-p)+q i nazywana jest postacią kanoniczną.

DANE: a=1 b=-16 c=60

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = {1 \cdot x^2} { -16 \cdot x} { + 60}$

Postać kanoniczna - trojmianu kwadratowego

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{16 }{ 2 \cdot 1 } = {8}$

$q=\frac{- \Delta}{4a}=\frac{- 16 }{ 4\cdot 1 } = {-4}$

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x - p )^2 + q = {1} \cdot (x { - 8)^2}-4$

Miejsca zerowe i postać iloczynowa - trojmianu kwadratowego

$\Delta=b^2-4\cdot a \cdot c={256 - 240 = 16}$

$x_1=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{16-4 } { 2 \cdot 1 } = {6}$

$x_2=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{16 + 4 } { 2 \cdot 1 } = {10}$

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x -x_1) \cdot (x-x_2)= {1} \cdot (x { - 6)} \cdot (x { - 10)}$

Typ przykładowych danych "ppp". Patrz rysunek po prawej stronie
DANE 3 punkty: P1(-1,0) P2(2,-3) P3(4,5)
oblicz wspólczynniki a,b,c paraboli

Podstawiam kolejno współrzędne punktów do równania paraboli
i otrzymuję układ 3-ech rownań o trzech niewiadomych.
Uwaga dwa punkty mogą bycć miejscami zerowymi a jeden może być wierzchołkiem.
Wierzcholek moż być dany pośrednio przez zbiór wartosci lub przez extremum funkcji

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c$

${x= x1 = -1 \Rightarrow \ 1 \cdot a} { -1 \cdot b} { + c} = {0}$

${x= x2 = 2 \Rightarrow \ 4 \cdot a} { + 2 \cdot b} { + c} = {-3}$

${x= x3 = 4 \Rightarrow \ 16 \cdot a} { + 4 \cdot b} { + c} = {5}$

Odejmuje stronami (2)-(1) oraz (3-2) i utrzymuje układ 2-ch rownań:
który rozwiążę metodą wyznacznikową

$\left \{ {{3 \cdot a + 3 \cdot b=-3} \atop {12 \cdot a + 2 \cdot b=8}} \right.$

$Wg={3 \cdot 2- } {( 12 \cdot 3 )}={-30}$

$Wa={-3 \cdot 2- } {( 8 \cdot 3 )}={-30}$

$Wb={3 \cdot 8- } {( 12 \cdot (-3) )}={60}$

$a=\frac{-30}{-30}={1}$

$b=\frac{60}{-30}={-2}$

$c=y_1 - a \cdot x_1^2 -b \cdot x_1 ={-3}$

Postać ogólna:

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = {1 \cdot x^2} { -2 \cdot x} {-3}$

Postać kononicza:

$\Delta=b^2-4\cdot a \cdot c={4 - (-12) = 16}$

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{2 }{ 2 \cdot 1 } = {1}$

$q=\frac{- \Delta}{4a}=\frac{- 16 }{ 4\cdot 1 } = {-4}$

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x - p )^2 + q = {1} \cdot (x { - 1)^2}-4$

Miejsca zerowe:

$\Delta=b^2-4\cdot a \cdot c={4 - (-12) = 16}$

$x_1=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2-4 } { 2 \cdot 1 } = {-1}$

$x_2=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + 4 } { 2 \cdot 1 } = {3}$

Dana postać kanoniczna:

Typ danych "apq". Patrz rysunek po prawej stronie

DANE : a=1 p=1 q=-4

$y(x)= {1} \cdot (x { - 1)^2}-4$

1-szy sposób na postać ogólną to wykonać potęgowanie:

$y(x)=a \cdot (x-p)^2 q=a \cdot x^2 -2 \cdot a \cdot p \cdot x + a \cdot p^2 + q \rightarrow$

$b=-2 \cdot a \cdot p = -2 \cdot {1} \cdot {1} = {-2}$

$c = a \cdot p^2 + q = {1} \cdot {1 ^ 2} {-4} =-3$

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = {1 \cdot x^2 }{-2 \cdot x } {-3 }$

Inny sposób, to wykorzystanie wzoru skróconego
mnożenia na różnicę kwadratów.
W tym celu wyłączę "a" i policzę √(q/a)

$y(x)= {1} \cdot [(x { - 1)^2 -(2)^2]= {1} \cdot (x { - 3)} \cdot (x { + 1)}$

Z postaci tej wynikają miejsca zerowe:

$f(x)=0 \Rightarrow x_1={3 } \ \ \ \ x_2={-1 }$

Postać ogólną można napisać korzystając ze wzorów Vieta
$-\frac{b}{a}=x_1 + x_2 \Rightarrow b= a \cdot ( x_1 + x_2 )= 1 \cdot (2) = -2$

$\frac{c}{a}=x_1 \cdot x_2 \Rightarrow c= a \cdot ( x_1 \cdot x_2 )= 1 \cdot (-3)= -3$

y=a*x² + b*x+c = 1 *x² + ( -2 ) *x+ -3

Dana postać iloczynowa:
Typ danych "x12" Patrz rysunek po prawej stronie

DANE typ x12: a=-0.5 , x1=-4 , x2=2
Jażeli jest dana postać iloczynowa:

$y(x)= {-0.5} \cdot (x { + 4)} \cdot (x { - 2)}$

to znamy miejsca zerowe
x1=-4 x2=2
oraz współczynnik przy x² , a=-0.5

Postać ogólną można napisać korzystając ze wzorów Vieta

$-\frac{b}{a}=x_1 + x_2 \Rightarrow b= a \cdot ( x_1 + x_2 )= -0.5 \cdot (-2) = -1$

$\frac{c}{a}=x_1 \cdot x_2 \Rightarrow c= a \cdot ( x_1 \cdot x_2 )= -0.5 \cdot (-8)= 4$

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = {-0.5 \cdot x^2 }{-1 \cdot x } { + (4) }$

Teraz łatwo policzyc postac kanoniczna bo :

$p=\frac{x_1 + x_2}{2}= \frac{ }{2} {-1$

$q=y(x=p)={-0.5} \cdot (-1)^2 + (-1)\cdot(-1) + (4) = (4.5)$

$y(x)= {-0.5} \cdot (x { + 1)^2} + 4.5$

Dane typu "w1p" wierzcholek i jeden punkt
Przykladowe startowe dane "w1p" Patrz rysunek po prawej stronie

DANE : W(1,-4) P(4,5)
Aby wyliczyc postac ogólną najlepiej rozpocząć od postaci kanonicznej

$y(x)=a \cdot (x{- 1})^2 {-4}$

Należy teraz policzyc niewiadomy współćzynnik "a" mamy dany punkt P(4,5)
którego współrzędne spełniają w/w równanie - co daje :

${5}=a \cdot ({4 - 1})^2 {-4} \Rightarrow \\ \\ {5}=a \cdot ({3)^2 }{-4} \\ \\ a=\frac{9}{9}{=1 }$

$y(x)= {1} \cdot (x { - 1)^2}-4$

1-szy sposób na postać ogólną to wykonać potęgowanie:

$y(x)=a \cdot (x-p)^2 q=a \cdot x^2 -2 \cdot a \cdot p \cdot x + a \cdot p^2 + q \rightarrow$

$b=-2 \cdot a \cdot p = -2 \cdot {1} \cdot {1} = {-2}$

$c = a \cdot p^2 + q = {1} \cdot {1 ^ 2} {-4} =-3$

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = {1 \cdot x^2 }{-2 \cdot x } {-3 }$

Inny sposób, to wykorzystanie wzoru skróconego
mnożenia na różnicę kwadratów.
W tym celu wyłączę "a" i policzę √(q/a)

$y(x)= {1} \cdot [(x { - 1)^2 -(2)^2]= {1} \cdot (x { - 3)} \cdot (x { + 1)}$

Z postaci tej wynikają miejsca zerowe:

$f(x)=0 \Rightarrow x_1={3 } \ \ \ \ x_2={-1 }$

Postać ogólną można napisać korzystając ze wzorów Vieta
$-\frac{b}{a}=x_1 + x_2 \Rightarrow b= a \cdot ( x_1 + x_2 )= 1 \cdot (2) = -2$

$\frac{c}{a}=x_1 \cdot x_2 \Rightarrow c= a \cdot ( x_1 \cdot x_2 )= 1 \cdot (-3)= -3$

Miejsca zerowe kontrola z ogólnego :

$\Delta=b^2-4\cdot a \cdot c={4 - (-12) = 16}$

$x_1=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2-4 } { 2 \cdot 1 } = {-1}$

$x_2=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + 4 } { 2 \cdot 1 } = {3}$

Dane typu "a2p" Jeden współczynnik i dwa punkty
Przykladowe startowe dane "a2p" Patrz rysunek po prawej stronie
DANE 2 punkty: P1(-4,4) P2(0,-3) i jeden wspólczynnik a=-0.5
oblicz brakujące wspólczynniki paraboli

Podstawiam kolejno współrzędne punktów do równania paraboli
i otrzymuję układ 2-ech rownań o 2-ch niewiadomych.
Uwaga dwa punkty mogą bycć miejscami zerowymi a jeden może być wierzchołkiem.
Wierzcholek może być dany pośrednio przez zbiór wartosci lub przez extremum funkcji

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c$

${x= x1 = -4 \Rightarrow -0.5 \cdot 16 } { -4 \cdot b} { + c} = {4}$

${x= x2 = 0 \Rightarrow -0.5 \cdot 0 } { + 0 \cdot b} { + c} = {-3}$

Odejmuje stronami (2)-(1) i obliczam b;
( 4) * b = -15
b =( -15) / 4 = -3.75
c = 4 -( -0.5 )*( -4 ) = -3

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = {-0.5 \cdot x^2 }{-3.75 \cdot x } { + (-3) }$

$y(x)= {-0.5} \cdot (x { + 3.75)^2}-3$

Miejsca zerowe kontrola z ogólnego

$\Delta=b^2-4\cdot a \cdot c={14.063 - 6 = 8}$

$x_1=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3.75-2.8395 } { 2 \cdot (-0.5) } = {-0.9105}$

$x_2=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3.75 + 2.8395 } { 2 \cdot (-0.5) } = {-6.5895}$

Geometria analityczna :
Typ danych "kFd" Patrz rysunki poniżej

Parabola z defincji to zbiór punktów rownoodleglych od zadanej prostej zwanej kierownicą,
i od zadanego punktu zwanego ogniskiem

Równanie uwikłane można wyprowadzić dla prostej danej rownaniem ogólnym Ax + By + C = 0
ale jest ono dość skomplikowane dlatego bardzo często przyjmuje się kierownicę
jako prostą poziomą lub jako pionową: y=-p i ognisko F(0,p) lub x=-p i ognisko F(p,0)

Równanie kierownicy y=-p=-1 ognisko F(0,p)=F(0,1)
Jeżeli przyjmiemy na płaszczyźnie dowolny pynkt P(x,y) to można policzyć
jego odległości od zadanego ogniska i od zadanej kierownicy wtedy:

Dla kierownicy pionowej mamy:

$d_2=\sqrt{(x-p)^2 + y^2} \ \ \ oraz \\ \\ d_1=|x + p| \ \ z \ \ warunku \\ \\ d_1=d_2 \Rightarrow (x-p)^2 + y^2=(x + p)^2 \\ \\ x^2-2 \cdot p \cdot x + p^2 + y^2 = x^2 + 2 \cdot p \cdot x + p^2$

Ostatecznie równanie paraboli dla kierownicy pionowej : y²=4*p*x
analogicznie można otrzymać równanie dla kierownicy poziomejj: x²=4*p*y

visits:1903345 date modify: 2020-09-27 01:08:21 webmaster: JK

Zalecane przeglądarki :FireFox, OPERA, GoogleChrome

Analiza funkcji kwadratowej / Analysis of a quadratic function

Dla każdego w/w przypadku zostaną podane :

Dana postać ogólna:

DANE: a=1 b=-16 c=60

Postać kanoniczna - trojmianu kwadratowego

Miejsca zerowe i postać iloczynowa - trojmianu kwadratowego

Dana postać kanoniczna:

DANE : a=1 p=1 q=-4

Dana postać iloczynowa:

DANE typ x12: a=-0.5 , x1=-4 , x2=2

DANE : W(1,-4) P(4,5)

Geometria analityczna :

Ostatecznie równanie paraboli dla kierownicy pionowej : y2=4*p*x analogicznie można otrzymać równanie dla kierownicy poziomejj: x2=4*p*y

Postać kanoniczna - trojmianu kwadratowego

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{16 }{ 2 \cdot 1 } = {8}$

$q=\frac{- \Delta}{4a}=\frac{- 16 }{ 4\cdot 1 } = {-4}$

$y(x)=a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x - p )^2 + q = {1} \cdot (x { - 8)^2}-4$

Ostatecznie równanie paraboli dla kierownicy pionowej : y²=4px
analogicznie można otrzymać równanie dla kierownicy poziomejj: x²=4py