Zalecane przeglądarki :FireFox, OPERA, GoogleChrome

Rozwiązywanie trójkątów / Solving triangles

Strona będzie pokazywać sposoby rozwiązania trójkątów DLA TWOICH DANYCH
przy różnym sposobie ich określenia, zgodnie z cechą przystawania trójkątów tj:
  1. bbb - 3 boki
  2. bkb - 2 boki i kąt pomiędzy nimi zawarty
  3. kbk - 2 kąty i bok pomiędzy nimi
  4. bbk - 2 boki i kąt naprzeciwko większego z nich
  5. bhk - bok i kąt naprzeciwko oraz wysokość do niego prostopadła
  6. ABC - Współrzedne 3-ech wierzchołków - geometria analityczna
Najważniejszy jest przypadek 1-szy, bo do niego będę sie odwoływał
gdy będą znane już wszystkie boki trójkąta
Poniżej podaję sposoby rozwiązania przypadków wymienionych powyżej.
Na zakończenie każdego przypaku będzie można uzyskać wyniki i rysunek dla zadanych własnych danych.

1. Przypadek "bbb". Patrz rysunek po prawej stronie

DANE: a=16 b=8 c=20

Aby policzyć pole - policzę wysokość hc2 dwa razy z twierdzenia Pitagorasa

b2-(c-x)2=a2-x2
b2-c2+2cx-x2=a2-x2
b2-c2+2cx=a2

Można zapisać tkz. uogólnione twierdznie Pitagorasa :
b2=a2+c2-2·c·ac gdzie x=ac rzut a na c
lub twierdzenie Carnota [ twierdzrnie cosinusów ]
b2=a2+c2-2·a·c·cos(β)


Znając x możemy z niebieskiego trójkąta policzyć wysokość
hc2=a2-x2 i następnie pole trojkąta jako P=1/2·c·hc

Podstawiam dane : a=16 b=8 c=20









S=1/2·c·hc=1/2 · 20 · 6.079 = 60.795 [j2]

Inny sposób obliczenia pola to wzór Herona:


gdzie p to połowa obwodu p=(a+b+c)/2=(16 + 8 + 20 )/2= 22

p·(p-a)·(p-b)·(p-c)=22 · 6 · 14 · 2 = 3696

S=√ 3696 = 60.795[j2]

Można również wykorzystać twierdzenie Carnota [ cosinusów ]
obliczając cosinus kąta β a następnie sinus kąta β



z jedynki trogonometrycnej:

S=1/2·a·c·sin(β)=1/2 · 16 · 20 · 0.38 = 60.795[j2]




Obliczenie kątów i promieni okręgów opisanego i wpisanego.

Promień okręgu opisanego: R=a·b·c/(4·S)=16 · 8 · 20/(4 · 60.795 ) = 10.527

Promień okręgu wpisanego: r=S/p= 60.795 / 22 = 2.763

Z twierdznia Carnota policzone powyżej cos(β)=0.925 co daje: β=arccos( 0.925 )= 22°19'53''

kąt α można policzyć podobnie jak kąt β z twierdzenia Carnota:

co daje: α=arccos( 0.65)= 49°27'30''

kąt γ można policzyć z sumy kątów w trójkącie γ=180-α-β= 108°12'35''


Obliczenie długości dośrodkowych

Wyprowadzenie wzoru umieściłem już we wcześniejszym
moim opracowaniu : wybierz środek ciężkości

Tutaj załączam kopię tego opracowania:
Patrz rysunek obok.







           
2. Przypadek "bkb" Patrz rysunek po prawej stronie

DANE : a=20 beta=30 c=10


Policzę najpierw brakujący bok b. W tym celu zastosuje twierdzenie Carnota;



cos β=0.866

Podstawiam dane z rysunku obok:



Mając już bok "b" można zastosować wzory z przypaku 1-szego tj. bbb
do policzenia cosinusa kąta α





α=arccos(-0.5907)=126°12'21''

Dla takich danych łatwo policzyć pole trójkąta ze wzoru:



Kąt γ=180-α-β = 23°47'38'' , ale pokażę jednak jak można zastosować twierdzenie sinusów do policzenia kąta γ.



gdzie R - promień okręgu opisanego


Znając bok b oraz sin(β) możemy policzyć sinα i sinγ i nastepnie kąty: α i γ





Uwaga dla kąta rozwartego daje sinus kąta zewnętrznego



γ=23°47'38''


           


3. Przypadek "kbk" Patrz rysunek po prawej stronie

DANE: beta=30 a=20 gamma=45


Policzę najpierw brakujący kąt α=180-β-γ=180- 30 - 45 = 105
Do policzenia boków b i c zastosuje cytowane wyżej
twierdzenie sinusów:






Przy tych danych łatwo policzyć promień okregu opisanego:



Korzystajac z promienia okręgu opisanego można policzyć pole trójkąta:




Pozostałe wielkości opisujące trójkąt można policzyć podobnie
jak w przypadku 1-szym bbb


           
4. Przypadek "bbk" Dwa boki i kąt naprzeciwko wiekszego
Patrz rysunek po prawej stronie, na którym widać dlaczego kąt musi byc naprzeciwko większego boku.


DANE: alfa=60 a=10 b=6


Korzystając z twierdzenia sinusów policzę kąt β
0.5196 => β=31.3064

Kąt γ można policzyć z sumy kątów w trójkącie

γ=180-α-β= 88.694

Teraz korzystając z twierdzenia sinusów policzę bok c



Przy tych danych łatwo policzyć promień okregu opisanego:



Korzystąjąc z promienia R można policzyć pole trójkąta:



Pozostałe wielkości opisujące trójkąt można policzyć podobnie
jak w przypadku 1-szym bbb


           
5. Przypadek "bhk" bok wysokość do niego i kąt naprzeciwko
Patrz rysunek po prawej stronie, na którym widać konstrukcję tego przypadku


DANE: gamma=45 h=9 c=12


Warunkiem rozwiązalności jest aby
wysokość h ≤ c*ctg(γ/2)=14.4853


Dla takich danych łatwo policzyć pole trójkąta i promień okregu opisanego:

54

Korzystając z twierdzenia sinusów policzę promień okręgu opisanego:

8.4853


Policzę teraz sinus pomocniczego kąta φ

Z kolorowych trójkatow wynika:



Z jedynki trygonometrycznej,



Z twierdzenia Pitagorasa,



9.2061



16.5906


Inny sposób to układ równań - niewiadome a i b:













Pomocnicze zmienne:



-360       23328

36288       190.4941

84.753       275.247

9.2061

16.5906


Pozostałe wielkości opisujące trójkąt można policzyć podobnie
jak w przypadku 1-szym bbb


           

6. Przypadek "ABC" zadanie z geometrii analitycznej


Patrz rysunek po prawej stronie, na którym widać współrzędne zadanych punktów trójkąta

DANE STANDARTOWE

DANE     A(-4,-2)     B(7,-3)     C(2,4)

Równania prostych w których zawierają się boki trójkąta

W tym celu wykorzystam równanie pęku prostych .
Patrz moj help gotowe.php Wybierz równanie pęku prostych




Wspólczynniki kierunkowe boków trójkąta:

mAB= -1/(11)=-0.091
mBC= 7/(-5)=-1.4
mAC= 6/(6)=1







Wyprowadze również równanie prostej przez dwa punkty
w postaci ogólnej; P1(x1,y1) i P2(x2,y2)
przy założeniu że prosta przechodzi przez punkt P(x1,y1)
Równanie potrzebne bedzie do obliczenia odleglości punktu od prostej

Przekształce równanie parametryczne cytowane powyżej





Po wymnożeniu ostateczna ogólna postać:




Równania ogólne boków trójkąta mają postać:







Długości boków policzę jako długość wektora







           



Równania wysokości i pole trójkąta **************


DANE     A(-4,-2)     B(7,-3)     C(2,4)

Równania wyskości podobnie jak równania boków napiszę stosując równanie pęku prostych.
Wspólczynniki kierunkowe boków trójkąta obliczone powyżej wynoszą:

mAB= -1/(11)=-0.091

mBC= 7/(-5)=-1.4

mAC= 6/(6)=1

Z warunku prostopadłości obliczę współczynniki kierunkowe wysokości:
Patrz moj help gotowe.php wybierz tanges kąta dwie proste

mhc=-(11)/(-1)=11    
mha=-(-5)/(7)=0.714    
mhb=-(6)/(6)=-1








Przeciecie wysokości wyznacza punkt zwany ORTOCENTRUM H( 1.833 , 2.167 )

Policze jeszcze długosci wysokości - wykorzystam wzór na odleglość punktu od prostej.

Wysokość ha jako odleglość punktu A od BC


ha= 8.37 a=8.602 ==> S=1/2*a*ha=36

Wysokość hb jako odleglość punktu B od AC


hb= 8.485 b=8.485 ==> S=1/2*b*hb=36

Wysokość hc jako odleglość punktu C od AB


hc= 6.519 c=11.045 ==> S=1/2*c*hc=36



Pole trójkata można policzyć jako połowę wyznacznika dwóch wektorów -
rysunek po prawej stronie










           

Miary kątów i funkcja cosinus

DANE     A(-4,-2)     B(7,-3)     C(2,4)

Aby policzyć miary kątów potrzebne są dwa wektory wychodzące z tego samego wierzchołka.
Policzę kąty alfa i beta a kąt gamma z sumy kątów w trójkacie.

Z wierzchołka A kąt alfa :









α=50.194428907735 = 50°11'39''


Z wierzchołka B kąt beta :









β=49.267893300291 = 49°16'4''



γ=80.537677791974 = 80°32'15''


           

Równania dośrodkowych ich długości i środek ciężkości

DANE     A(-4,-2)     B(7,-3)     C(2,4)

Potrzebne punkty K, L, M.



K(1.5 , -2.5)     L(4.5 , 0.5)     M(-1 , 1)


















Dośrodkowe dzielą sie w stosunku 1:2 liczac od boku trójkata.
Środek ciężkości trójkąta leży na przecięciu dośrodkowych.
Współrzędna środka ciężkości jest średnią arytmetyczną współrzędnych wierzchołków.










           

Równania symetralnych boków - środek i promień okręgu opisanego na trójkącie ABC

Gdy symetralna pionowa błąd do poprawy

DANE     A(-4,-2)     B(7,-3)     C(2,4)

Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków ,
w tym celu policzę współrzędne środków wszystkich boków. Punkty K, L, M.


K(1.5,-2.5)     L(4.5,0.5)     M(-1,1)

Policzę teraz współczynniki kierunkowe symetralnych boków
Z warunku prostopadlości wynika , Patrz moj help gotowe.php tanges kąta dwie proste
mK=-(11)/(-1)=11     mL=-(-5)/(7)=0.714     mM=-(6)/(6)=-1


Przecięcie dwóch symetralnych wyznacza środek okręgu opisanego , patrz rysunek

symetralna AB: y=-(11/-1) • [x-(1.5)]+(-2.5)=11 • [x-(1.5)]+(-2.5)= 11 • x+(-19)

symetralna BC: y=-(-5/7) • [x-(4.5)]+(0.5)=0.714 • [x-(4.5)]+(0.5)= 0.714 • x+(-2.714)

Rozwiązanie w/w układu wyznaczy współrzędną środka S2 okręgu opisanego.



xS2=[-2.714 -(-19)]/[11-(0.714)]=1.583 ys2=-1.583

S2(1.583,-1.583),

Długość odcinka |AS2|=R=5.599 jest równe promieniowi okręgu opisnego


           

Równania dwusiecznych kątów - środek i promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC

DANE     A(-4,-2)     B(7,-3)     C(2,4)


Równania dwusiecznych tylko kątów alfa i beta :

Przepiszę równania ogólne boków trójkąta obliczone powyżej
i zastosuję wzory widoczne na rysunku po prawej stronie











-------------------------------------------------------





-------------------------------------------------------

Po opuszczeniu modułu mamy 4 przypadki - należy wybrać
okrąg [układ równań], którego środek leży wewnątrz trójkąta

Zobacz przykładowy rysunek


x=-6.425 y=4.697

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany


r=6.45




x=10.605 y=3.288

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany


r=6.589




x=1.673 y=0.054

Znając współrzędne środka okręgu wpisanego mogę obliczyć jego promień
korzystając ze wzoru na odleglość punktu od prostej - rysunek po prawej

okrąg wpisany



r=2.559

xS1=1.673 yS1=0.054




x=0.479 y=-14.372

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany


r=11.916