Zalecane przeglądarki :FireFox, OPERA, GoogleChrome

Rozwiązywanie trójkątów / Solving triangles

Strona będzie pokazywać sposoby rozwiązania trójkątów DLA TWOICH DANYCH
przy różnym sposobie ich określenia, zgodnie z cechą przystawania trójkątów tj:

bbb - 3 boki
bkb - 2 boki i kąt pomiędzy nimi zawarty
kbk - 2 kąty i bok pomiędzy nimi
bbk - 2 boki i kąt naprzeciwko większego z nich
bhk - bok i kąt naprzeciwko oraz wysokość do niego prostopadła
ABC - Współrzedne 3-ech wierzchołków - geometria analityczna

Równania i długości boków
Równania wysokości i pole trójkąta
Miary kątów
Równania dośrodkowych i środek ciężkości
Równania symetralnych boków - środek i promień okregu opisanego
Równania dwusiecznych kątów - środek i promień okregu wpisanego

Najważniejszy jest przypadek 1-szy, bo do niego będę sie odwoływał
gdy będą znane już wszystkie boki trójkąta
Poniżej podaję sposoby rozwiązania przypadków wymienionych powyżej.
Na zakończenie każdego przypaku będzie można uzyskać wyniki i rysunek dla zadanych własnych danych.

1. Przypadek "bbb". Patrz rysunek po prawej stronie

DANE: a=16 b=8 c=20

Aby policzyć pole - policzę wysokość h_c² dwa razy z twierdzenia Pitagorasa

b²-(c-x)²=a²-x²
b²-c²+2cx-x²=a²-x²
b²-c²+2cx=a²

Można zapisać tkz. uogólnione twierdznie Pitagorasa :
b²=a²+c²-2·c·a_c gdzie x=a_c rzut a na c
lub twierdzenie Carnota [ twierdzrnie cosinusów ]
b²=a²+c²-2·a·c·cos(β)

$x=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c}$
Znając x możemy z niebieskiego trójkąta policzyć wysokość
h_c²=a²-x² i następnie pole trojkąta jako P=1/2·c·h_c

Podstawiam dane : a=16 b=8 c=20

$x=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c}=\frac{16 ^2 + 20 ^2 - 8 ^2}{2 \cdot 20}=14.8$

$h_c^2=a^2-x^2=16 ^2 - 14.8 ^2 = 36.96 \Rightarrow$

$h_c=\sqrt{ 36.96 }=6.079$

S=1/2·c·h_c=1/2 · 20 · 6.079 = 60.795 [j²]

Inny sposób obliczenia pola to wzór Herona:

$S=\sqrt{p \cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c) }$
gdzie p to połowa obwodu p=(a+b+c)/2=(16 + 8 + 20 )/2= 22

p·(p-a)·(p-b)·(p-c)=22 · 6 · 14 · 2 = 3696

S=√ 3696 = 60.795[j²]

Można również wykorzystać twierdzenie Carnota [ cosinusów ]
obliczając cosinus kąta β a następnie sinus kąta β

$cos \beta=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}=\frac{16 ^2 + 20 ^2 - 8 ^2}{2 \cdot 16 \cdot 20}= 0.925$

z jedynki trogonometrycnej: $sin\beta=\sqrt{1-cos^2 \beta }=0.38$

S=1/2·a·c·sin(β)=1/2 · 16 · 20 · 0.38 = 60.795[j²]

Obliczenie kątów i promieni okręgów opisanego i wpisanego.

Promień okręgu opisanego: R=a·b·c/(4·S)=16 · 8 · 20/(4 · 60.795 ) = 10.527

Promień okręgu wpisanego: r=S/p= 60.795 / 22 = 2.763

Z twierdznia Carnota policzone powyżej cos(β)=0.925 co daje: β=arccos( 0.925 )= 22°19'53''

kąt α można policzyć podobnie jak kąt β z twierdzenia Carnota: $cos \alpha=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}=\frac{8 ^2 + 20 ^2 - 16 ^2}{2 \cdot 8 \cdot 20}= 0.65$

co daje: α=arccos( 0.65)= 49°27'30''

kąt γ można policzyć z sumy kątów w trójkącie γ=180-α-β= 108°12'35''

Obliczenie długości dośrodkowych

Wyprowadzenie wzoru umieściłem już we wcześniejszym
moim opracowaniu : wybierz środek ciężkości

Tutaj załączam kopię tego opracowania:
Patrz rysunek obok.

$dc=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2a^2 + 2b^2-c^2}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2\cdot 16^2 + 2\cdot 8 ^2 - 20 ^2}=7.746$

$db=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2a^2 + 2c^2-b^2}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2\cdot 16^2 + 2\cdot 20 ^2 - 8 ^2}=17.6635$

$da=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2b^2 + 2c^2-a^2}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2\cdot 8^2 + 2\cdot 20 ^2 - 16 ^2}=12.9615$

2. Przypadek "bkb" Patrz rysunek po prawej stronie

DANE : a=20 beta=30 c=10

Policzę najpierw brakujący bok b. W tym celu zastosuje twierdzenie Carnota;

$b=\sqrt{a^2 + c^2 - 2ac\cdot cos(\beta)}$

cos β=0.866

Podstawiam dane z rysunku obok:

$b=\sqrt{a^2 + c^2 - 2ac\cdot cos(\beta)}=\sqrt{20 ^2 + 10 ^2 - 2\cdot 20 \cdot 10 \cdot 0.866 }= 12.393$

Mając już bok "b" można zastosować wzory z przypaku 1-szego tj. bbb
do policzenia cosinusa kąta α

$a^2=b^2 + c^2 - 2bc\cdot cos\alpha} \ \Rightarrow \ cos\alpha=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$cos\alpha=\frac{ 12.393 ^2 + 10 ^2 - 20 ^2}{2\cdot 12.393 \cdot 10}= -0.5907$

α=arccos(-0.5907)=126°12'21''

Dla takich danych łatwo policzyć pole trójkąta ze wzoru:

$S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot sin( \beta)=\frac{1}{2}\cdot 20 \cdot 10 \cdot 0.5 =50$

Kąt γ=180-α-β = 23°47'38'' , ale pokażę jednak jak można zastosować twierdzenie sinusów do policzenia kąta γ.

$\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R$

gdzie R - promień okręgu opisanego

$R=\frac{b}{2 \cdot sin\beta}=\frac{12.393}{2 0.5 } =12.393$
Znając bok b oraz sin(β) możemy policzyć sinα i sinγ i nastepnie kąty: α i γ

$sin \beta=0.5$

$\frac{b}{sin\beta}=\frac{a}{sin\alpha}=\frac{c}{sin\gamma} \ \ \Rightarrow sin\gamma =\frac{c}{b}\cdot sin\beta$

Uwaga dla kąta rozwartego daje sinus kąta zewnętrznego

$sin\gamma}=\frac{ 10 }{ 12.393} \cdot 0.5 = 0.4034 \ \ \Rightarrow \ \gamma=arcsin( 0.4034 )$

γ=23°47'38''

3. Przypadek "kbk" Patrz rysunek po prawej stronie

DANE: beta=30 a=20 gamma=45

Policzę najpierw brakujący kąt α=180-β-γ=180- 30 - 45 = 105
Do policzenia boków b i c zastosuje cytowane wyżej
twierdzenie sinusów:

$\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R$
$\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta} \ \Rightarrow \ b=\frac{sin \beta}{sin \alpha} \cdot a=\frac { 0.5}{ 0.9659} \cdot 20 = 10.353$

$\frac{a}{sin\alpha}=\frac{c}{sin\gamma} \ \Rightarrow \ c=\frac{sin \gamma}{sin \alpha} \cdot a=\frac { 0.7071}{ 0.9659} \cdot 20 = 14.641$

Przy tych danych łatwo policzyć promień okregu opisanego:

$R=\frac{a}{2 \cdot sin\alpha}=\frac { 20 }{2 \cdot 0.9659 } = 10.353$

Korzystajac z promienia okręgu opisanego można policzyć pole trójkąta:

$R=\frac{a \cdot b \cdot c}{4S}\ \Rightarrow \ S=\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}=\frac { 20 \cdot 10.353 \cdot 14.641 }{ 4 \cdot 10.353 } = 73.205$

Pozostałe wielkości opisujące trójkąt można policzyć podobnie
jak w przypadku 1-szym bbb

4. Przypadek "bbk" Dwa boki i kąt naprzeciwko wiekszego
Patrz rysunek po prawej stronie, na którym widać dlaczego kąt musi byc naprzeciwko większego boku.

DANE: alfa=60 a=10 b=6

Korzystając z twierdzenia sinusów policzę kąt β
$sin\beta=\frac{b}{a} \cdot sin\alpha=\frac{ 6 }{ 10} \cdot 0.866 =$ 0.5196 => β=31.3064

Kąt γ można policzyć z sumy kątów w trójkącie

γ=180-α-β= 88.694

Teraz korzystając z twierdzenia sinusów policzę bok c

$c=\frac{sin\gamma}{sin\alpha} \cdot a=\frac { 0.9997 }{ 0.866 } \cdot 10 = 11.544$

Przy tych danych łatwo policzyć promień okregu opisanego:

$R=\frac{a}{2 \cdot sin\alpha}=\frac { 10 } {2 \cdot 0.866 } = 5.7735$

Korzystąjąc z promienia R można policzyć pole trójkąta:

$R=\frac{a \cdot b \cdot c}{4S}\ \Rightarrow \ S=\frac{a \cdot b \cdot c}{4R}= \frac { 10 \cdot 6 \cdot 11.544 } {4 \cdot 5.7735 } = 29.9922$

Pozostałe wielkości opisujące trójkąt można policzyć podobnie
jak w przypadku 1-szym bbb

5. Przypadek "bhk" bok wysokość do niego i kąt naprzeciwko
Patrz rysunek po prawej stronie, na którym widać konstrukcję tego przypadku

DANE: gamma=45 h=9 c=12

Warunkiem rozwiązalności jest aby
wysokość h ≤ c*ctg(γ/2)=14.4853

Dla takich danych łatwo policzyć pole trójkąta i promień okregu opisanego:

$S=\frac{c \cdot h}{2}=$ 54

Korzystając z twierdzenia sinusów policzę promień okręgu opisanego:

$\frac{c}{sin\gamma}=2R\ \Rightarrow \ R=\frac{c}{2 \cdot sin\gamma}=$ 8.4853

Policzę teraz sinus pomocniczego kąta φ

Z kolorowych trójkatow wynika:

$h= R \cdot cos \gamma + R \cdot cos \phi \ \Rightarrow \ cos \phi=\frac{h}{R}- cos \gamma = 0.3536$

Z jedynki trygonometrycznej,

$sin \phi = \sqrt {1- cos ^2 \phi \ }= \sqrt {1- 0.3536^2 }= 0.9354$

Z twierdzenia Pitagorasa,

$a^2=R^2 \cdot (sin \phi - sin \gamma)^2 + h^2 =8.4853 ^2 \cdot ( 0.9354 - 0.7071 )^2 + 9 ^2 = 84.753 \ \Rightarrow$

$a=\sqrt { 84.753 }=$ 9.2061

$b^2=[R \cdot (sin \phi - sin \gamma) + c) ]^2 + h^2 =[ 8.4853 \cdot ( 0.9354 - 0.7071 ) + 12 ] ^2 + 9 ^2 = 275.247 \ \Rightarrow$

$b=\sqrt { 275.247 }=$ 16.5906

Inny sposób to układ równań - niewiadome a i b:

$S= \frac{1}{2} \cdot ab \cdot sin\gamma \Rightarrow \ ab=\frac{2S}{sin\gamma}$

$c^2=a^2 + b^2 - 2ab\cdot cos\gamma} \ \Rightarrow \ c^2=a^2 + b^2 - 4S\cdot ctg\gamma}$

$b= \frac{2S}{ a \cdot sin\gamma} \Rightarrow \ c^2=a^2 + \frac{4S^2}{ a^2 \cdot sin^2\gamma} - 4S\cdot ctg\gamma \Rightarrow \$

$c^2=u + \frac{4S^2}{ u \cdot sin^2\gamma} - 4S\cdot ctg\gamma \Rightarrow \$

$u^2 - (4S\cdot ctg\gamma + c^2) \cdot u\ + \frac{4S^2}{sin^2\gamma}=0$

$gdzie: \ \ u=a^2$

Pomocnicze zmienne:

$u^2 + f\cdot u + g=0$

$f=-(4S\cdot ctg\gamma + c^2)=$ -360 $g=\frac{4S^2}{sin^2\gamma}=$ 23328

$\Delta=(f^2-4g)=$ 36288 $\sqrt \Delta=$ 190.4941

$u1=\frac{-f-\sqrt\Delta}{2}=$ 84.753 $u2=\frac{-f + \sqrt\Delta}{2}=$ 275.247

$a=\sqrt u1=$ 9.2061

$b=\sqrt u2 =$ 16.5906

Pozostałe wielkości opisujące trójkąt można policzyć podobnie
jak w przypadku 1-szym bbb

6. Przypadek "ABC" zadanie z geometrii analitycznej

Patrz rysunek po prawej stronie, na którym widać współrzędne zadanych punktów trójkąta

DANE STANDARTOWE

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Równania prostych w których zawierają się boki trójkąta

W tym celu wykorzystam równanie pęku prostych .
Patrz moj help gotowe.php Wybierz równanie pęku prostych
$y=m \cdot (x-x_o)+ y_o \\ gdzie: \\ m= \ - \ wspolczynnik \ kierunkowy \ prostej \\ P(x_o,y_o) \ punkt \ na \ prostej. \Rightarrow$

$m=\frac{y2-y1}{x2-x1} \ \Rightarrow$

Wspólczynniki kierunkowe boków trójkąta:

mAB= -1/(11)=-0.091
mBC= 7/(-5)=-1.4
mAC= 6/(6)=1

$AB \ : \ \ y=\frac{-1}{11} \cdot (x -4) -2 =-0.091 \cdot (x -4) -2 =-0.091\cdot x -2.364$

$BC \ : \ \ y=\frac{7}{-5} \cdot (x - 7) -3 =-1.4 \cdot (x - 7) -3 =-1.4\cdot x + 6.8$

$AC \ : \ \ y=\frac{6}{6} \cdot (x -4) -2 =1 \cdot (x -4) -2 =1\cdot x + 2$

Wyprowadze również równanie prostej przez dwa punkty
w postaci ogólnej; P1(x1,y1) i P2(x2,y2)
przy założeniu że prosta przechodzi przez punkt P(x1,y1)
Równanie potrzebne bedzie do obliczenia odleglości punktu od prostej

Przekształce równanie parametryczne cytowane powyżej

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1) \ \ \ \Rightarrow (x_2-x_1) \cdot (y-y1)=(y_2-y_1) \cdot (x-x1) \ \ \Rightarrow$

$A \cdot (x-x_1)+ B \cdot (y-y_1)=0 \\ gdzie: \\ \\ \\ \\ A=y_2-y_1 \ \ B=x_1-x_2$

Po wymnożeniu ostateczna ogólna postać:

$A \cdot x + B \cdot y -(A\cdot x_1 + B \cdot y_1 )=0 \ \ \Rightarrow$

$A \cdot x + B \cdot y + C =0 \ \ \ \ gdzie \ \ \ \ C=-(A\cdot x_1 + B \cdot y_1 ) \ \ \Rightarrow$

Równania ogólne boków trójkąta mają postać:

$AB: \ \Rightarrow \ -1 \cdot x -11 \cdot y -26 =0$

$BC: \ \Rightarrow \ 7 \cdot x + 5 \cdot y-34 =0$

$AC: \ \Rightarrow \ 6 \cdot x -6 \cdot y + 12 =0$

Długości boków policzę jako długość wektora

$\vec AB=[ 7-(-4 ), -3 -(-2 )] =[ 11 , -1 ] \ \Rightarrow | \vec AB|=\sqrt {(11)^2 + (-1)^2}=11.045$

$\vec AC=[ 2-(-4 ), 4 -(-2 )] =[ 6 , 6 ] \ \Rightarrow | \vec AC|=\sqrt {(6)^2 + (6)^2}=8.485$

$\vec BC=[ 2-(7 ), 4 -(-3 )] =[ -5 , 7 ] \ \Rightarrow | \vec BC|=\sqrt {(-5)^2 + (7)^2}=8.602$

Równania wysokości i pole trójkąta **************

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Równania wyskości podobnie jak równania boków napiszę stosując równanie pęku prostych.
Wspólczynniki kierunkowe boków trójkąta obliczone powyżej wynoszą:

mAB= -1/(11)=-0.091

mBC= 7/(-5)=-1.4

mAC= 6/(6)=1

Z warunku prostopadłości obliczę współczynniki kierunkowe wysokości:
Patrz moj help gotowe.php wybierz tanges kąta dwie proste

m_hc=-(11)/(-1)=11
m_ha=-(-5)/(7)=0.714
m_hb=-(6)/(6)=-1

$Wysokosc \ \ ha \ \ \ : \ \ \ y=\frac{-5}{-7} \cdot (x + 4) -2 =0.714 \cdot (x + 4) -2 =0.714\cdot x + 0.857$

$Wysokosc \ \ hb \ \ \ : \ \ \ y=\frac{6}{-6} \cdot (x - 7) -3 =-1 \cdot (x - 7) -3 =-1\cdot x + 4$

$Wysokosc \ \ hc \ \ \ : \ \ \ y=\frac{11}{1} \cdot (x - 2) + 4 =11 \cdot (x - 2) + 4 =11\cdot x -18$

Przeciecie wysokości wyznacza punkt zwany ORTOCENTRUM H( 1.833 , 2.167 )

Policze jeszcze długosci wysokości - wykorzystam wzór na odleglość punktu od prostej.

Wysokość ha jako odleglość punktu A od BC

$ha=\frac { |7 \cdot xo + 5 \cdot yo-34 |} {\sqrt{ (7)^2 + (5)^2}}= \frac { |7 \cdot (-4) + 5 \cdot (-2)-34 |} {\sqrt{ (7)^2 + (5)^2}}$

ha= 8.37 a=8.602 ==> S=1/2aha=36

Wysokość hb jako odleglość punktu B od AC

$hb=\frac { |6 \cdot xo -6 \cdot yo + 12 |} {\sqrt{ (6)^2 + (-6)^2}}= \frac { |6 \cdot (7) -6 \cdot (-3) + 12 |} {\sqrt{ (6)^2 + (-6)^2}}$

hb= 8.485 b=8.485 ==> S=1/2bhb=36

Wysokość hc jako odleglość punktu C od AB

$hc=\frac { |-1 \cdot xo -11 \cdot yo -26 |} {\sqrt{ (-1)^2 + (-11)^2}}= \frac { |-1 \cdot (2) -11 \cdot (4) -26 |} {\sqrt{ (-1)^2 + (-11)^2}}$

hc= 6.519 c=11.045 ==> S=1/2chc=36

Pole trójkata można policzyć jako połowę wyznacznika dwóch wektorów -
rysunek po prawej stronie

$\vec{AB}=[a_x,a_y]=[x_2-x_1,y_2-y_1] \ \Rightarrow \ \vec {AB}=[7- (-4 ), -3 -(-2)]=[11 \ , -1]$

$\vec{AC}=[b_x,b_y]=[x_3-x_1,y_3-y_1] \ \Rightarrow \ \vec {AC}=[2- (-4 ), 4 -(-2)]=[6 \ , 6]$

$d(\vec{AB} , \vec {AC})=\left[\begin{array}{cc}11&-1\\ \\6&6\end{array}\right] =[ 11 \cdot (6) - (6) \cdot (-1) ]= 72$

$S=\frac{1}{2} \cdot|d(\vec{AB} , \vec {AC})|=36$

Miary kątów i funkcja cosinus

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Aby policzyć miary kątów potrzebne są dwa wektory wychodzące z tego samego wierzchołka.
Policzę kąty alfa i beta a kąt gamma z sumy kątów w trójkacie.

Z wierzchołka A kąt alfa :

$\vec{AB}=[x_2-x_1,y_2-y_1] \ \Rightarrow \ \vec {AB}=[7- (-4 ) \ , -3 -(-2)]=[11 \ , -1 ]$

$\vec{AC}=[x_3-x_1,y_3-y_1] \ \Rightarrow \ \vec {AC}=[2- (-4 ) \ , 4 -(-2)]=[6 \ , 6 ]$

$\vec{AB} \bullet \vec {AC}= 11 \cdot 6 + (-1) \cdot 6=60$

$cos(\alpha)= \frac { \vec{AB} \bullet \vec {AC} }{| \vec{AB} | \cdot | \vec {AC} |} =\frac {60 }{11.0454 \cdot 8.4853 }= 0.6402$

α=50.194428907735 = 50°11'39''

Z wierzchołka B kąt beta :

$\vec{BA}=[x_1-x_2,y_1-y_2] \ \Rightarrow \ \vec {BA}=[-4-7 \ ,-2 -(-3)]=[-11 \ , 1 ]$

$\vec{BC}=[x_3-x_2,y_3-y_2] \ \Rightarrow \ \vec {BC}=[2-7 \ ,4 -(-3)]=[-5 \ , 7 ]$

$\vec{BA} \bullet \vec {BC}= -11 \cdot (-5) + 1 \cdot 7=62$

$cos(\beta)= \frac { \vec{BA} \bullet \vec {BC} }{| \vec{AB} | \cdot | \vec {AC} |} =\frac {62 }{11.0454 \cdot 8.6023 }= 0.6525$

β=49.267893300291 = 49°16'4''

$\gamma=180 -\alpha - \beta$

γ=80.537677791974 = 80°32'15''

Równania dośrodkowych ich długości i środek ciężkości

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Potrzebne punkty K, L, M.

$x_s=\frac{x1 + x2}{2} \ \ ,\ \ y_s=\frac{y1 + y2}{2} \ \ \Rightarrow$

K(1.5 , -2.5) L(4.5 , 0.5) M(-1 , 1)

$KC \ : \ \ y=\frac{-6.5}{-0.5} \cdot (x - 2) + 4 =13 \cdot (x - 2) + 4 =13\cdot x -22$

$\vec KC=[ 1.5-(2 ), -2.5 -(4 )] =[ -0.5 , -6.5 ] \ \Rightarrow | \vec KC|=\sqrt {(-0.5)^2 + (-6.5)^2}=6.519$

$LA \ : \ \ y=\frac{2.5}{8.5} \cdot (x -4) -2 =0.294 \cdot (x -4) -2 =0.294\cdot x -0.824$

$\vec LA=[ 4.5-(-4 ), 0.5 -(-2 )] =[ 8.5 , 2.5 ] \ \Rightarrow | \vec LA|=\sqrt {(8.5)^2 + (2.5)^2}=8.86$

$MB \ : \ \ y=\frac{4}{-8} \cdot (x - 7) -3 =-0.5 \cdot (x - 7) -3 =-0.5\cdot x + 0.5$

$\vec MB=[ -1-(7 ), 1 -(-3 )] =[ -8 , 4 ] \ \Rightarrow | \vec MB|=\sqrt {(-8)^2 + (4)^2}=8.944$

Dośrodkowe dzielą sie w stosunku 1:2 liczac od boku trójkata.
Środek ciężkości trójkąta leży na przecięciu dośrodkowych.
Współrzędna środka ciężkości jest średnią arytmetyczną współrzędnych wierzchołków.

$x_K=\frac{x1 + x2}{2} \Rightarrow x_S=\frac{\frac{x1 + x2}{2} + \frac{x3}{2}}{1 + \frac{1}{2}}$

$x_S=\frac{x1 + x2 + x3}{3} = 1.667$

$y_S=\frac{y1 + y2 + y3}{3} = -0.333$

Równania symetralnych boków - środek i promień okręgu opisanego na trójkącie ABC

Gdy symetralna pionowa błąd do poprawy

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków ,
w tym celu policzę współrzędne środków wszystkich boków. Punkty K, L, M.
$x_s=\frac{x1 + x2}{2} \ \ ,\ \ y_s=\frac{y1 + y2}{2} \ \ \Rightarrow$

K(1.5,-2.5) L(4.5,0.5) M(-1,1)

Policzę teraz współczynniki kierunkowe symetralnych boków
Z warunku prostopadlości wynika , Patrz moj help gotowe.php tanges kąta dwie proste
mK=-(11)/(-1)=11 mL=-(-5)/(7)=0.714 mM=-(6)/(6)=-1

Przecięcie dwóch symetralnych wyznacza środek okręgu opisanego , patrz rysunek

symetralna AB: y=-(11/-1) • [x-(1.5)]+(-2.5)=11 • [x-(1.5)]+(-2.5)= 11 • x+(-19)

symetralna BC: y=-(-5/7) • [x-(4.5)]+(0.5)=0.714 • [x-(4.5)]+(0.5)= 0.714 • x+(-2.714)

Rozwiązanie w/w układu wyznaczy współrzędną środka S2 okręgu opisanego.

$y=m1\cdot x + b1 \ \ y=m2 \cdot x + b2 \Rightarrow x=\frac{b2-b1}{m1-m2} \ \Rightarrow$

xS2=[-2.714 -(-19)]/[11-(0.714)]=1.583 ys2=-1.583

S2(1.583,-1.583),

Długość odcinka |AS2|=R=5.599 jest równe promieniowi okręgu opisnego

Równania dwusiecznych kątów - środek i promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Równania dwusiecznych tylko kątów alfa i beta :

Przepiszę równania ogólne boków trójkąta obliczone powyżej
i zastosuję wzory widoczne na rysunku po prawej stronie

$AB: \ \Rightarrow \ -1 \cdot x -11 \cdot y -26 =0$

$BC: \ \Rightarrow \ 7 \cdot x + 5 \cdot y-34 =0$

$AC: \ \Rightarrow \ 6 \cdot x -6 \cdot y + 12 =0$

$\alpha : \Rightarrow \frac { |-1 \cdot x -11 \cdot y -26 |} {\sqrt{ (-1)^2 + (-11)^2}}= \frac { |6 \cdot x -6 \cdot y + 12 |} {\sqrt{ (6)^2 + (-6)^2}}$

$\beta : \Rightarrow \frac { |-1 \cdot x -11 \cdot y -26 |} {\sqrt{ (-1)^2 + (-11)^2}}= \frac { |7 \cdot x + 5 \cdot y-34 |} {\sqrt{ (7)^2 + (5)^2}}$

-------------------------------------------------------

$\alpha : \Rightarrow \frac { |-1 \cdot x -11 \cdot y -26 |} {\sqrt{ 122}}= \frac { |6 \cdot x -6 \cdot y + 12 |} {\sqrt{ 72}}$

$\beta : \Rightarrow \frac { |-1 \cdot x -11 \cdot y -26 |} {\sqrt{ 122}}= \frac { |7 \cdot x + 5 \cdot y-34 |} {\sqrt{ 74}}$

-------------------------------------------------------

Po opuszczeniu modułu mamy 4 przypadki - należy wybrać
okrąg [układ równań], którego środek leży wewnątrz trójkąta

Zobacz przykładowy rysunek

$\left[\begin{array}{cc} + & + \\ \\ + & + \end{array}\right] \ \Rightarrow \ \$ $\left \{ {{-0.798 \cdot x -0.289 \cdot y=3.768} \atop {-0.904 \cdot x -1.577 \cdot y=-1.598}} \right.$

x=-6.425 y=4.697

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany

$r=\frac { |-1 \cdot xo -11 \cdot yo -26 |} {\sqrt{ (-1)^2 + (-11)^2}}= \frac { |-1 \cdot (-6.425) -11 \cdot (4.697) -26 |} {\sqrt{ (-1)^2 + (-11)^2}}$

r=6.45

$\left[\begin{array}{cc} - & + \\ \\ + & + \end{array}\right] \ \Rightarrow \ \$ $\left \{ {{-0.617 \cdot x + 1.703 \cdot y=-0.94} \atop {-0.723 \cdot x + 0.415 \cdot y=-6.306}} \right.$

x=10.605 y=3.288

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany

$r=\frac { |1 \cdot xo + 11 \cdot yo+ 26 |} {\sqrt{ (1)^2 + (11)^2}}= \frac { |1 \cdot (10.605) + 11 \cdot (3.288)+ 26 |} {\sqrt{ (1)^2 + (11)^2}}$

r=6.589

$\left[\begin{array}{cc} + & + \\ \\ - & + \end{array}\right] \ \Rightarrow \ \$ $\left \{ {{-0.617 \cdot x + 1.703 \cdot y=-0.94} \atop {0.904 \cdot x + 1.577 \cdot y=1.598}} \right.$

x=1.673 y=0.054

Znając współrzędne środka okręgu wpisanego mogę obliczyć jego promień
korzystając ze wzoru na odleglość punktu od prostej - rysunek po prawej

okrąg wpisany

$r=\frac { |1 \cdot xo + 11 \cdot yo+ 26 |} {\sqrt{ (1)^2 + (11)^2}}= \frac { |1 \cdot (1.673) + 11 \cdot (0.054)+ 26 |} {\sqrt{ (1)^2 + (11)^2}}$

r=2.559

xS1=1.673 yS1=0.054

$\left[\begin{array}{cc} - & + \\ \\ - & + \end{array}\right] \ \Rightarrow \ \$ $\left \{ {{-0.798 \cdot x -0.289 \cdot y=3.768} \atop {0.723 \cdot x -0.415 \cdot y=6.306}} \right.$

x=0.479 y=-14.372

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany

$r=\frac { |-1 \cdot xo -11 \cdot yo -26 |} {\sqrt{ (-1)^2 + (-11)^2}}= \frac { |-1 \cdot (0.479) -11 \cdot (-14.372) -26 |} {\sqrt{ (-1)^2 + (-11)^2}}$

Zalecane przeglądarki :FireFox, OPERA, GoogleChrome

Rozwiązywanie trójkątów / Solving triangles

DANE: a=16 b=8 c=20

Można zapisać tkz. uogólnione twierdznie Pitagorasa : b2=a2+c2-2·c·ac gdzie x=ac rzut a na c lub twierdzenie Carnota [ twierdzrnie cosinusów ] b2=a2+c2-2·a·c·cos(β)

Inny sposób obliczenia pola to wzór Herona:

Można również wykorzystać twierdzenie Carnota [ cosinusów ] obliczając cosinus kąta β a następnie sinus kąta β

DANE : a=20 beta=30 c=10

DANE: beta=30 a=20 gamma=45

DANE: alfa=60 a=10 b=6

DANE: gamma=45 h=9 c=12

6. Przypadek "ABC" zadanie z geometrii analitycznej

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Równania prostych w których zawierają się boki trójkąta

Równania ogólne boków trójkąta mają postać:

Długości boków policzę jako długość wektora

Równania wysokości i pole trójkąta **************

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

ha= 8.37 a=8.602 ==> S=1/2*a*ha=36

hb= 8.485 b=8.485 ==> S=1/2*b*hb=36

hc= 6.519 c=11.045 ==> S=1/2*c*hc=36

Miary kątów i funkcja cosinus

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Równania dośrodkowych ich długości i środek ciężkości

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Równania symetralnych boków - środek i promień okręgu opisanego na trójkącie ABC

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Równania dwusiecznych kątów - środek i promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC

DANE A(-4,-2) B(7,-3) C(2,4)

Po opuszczeniu modułu mamy 4 przypadki - należy wybrać okrąg [układ równań], którego środek leży wewnątrz trójkąta

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany

r=6.45

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany

r=6.589

x=1.673 y=0.054

okrąg wpisany r=2.559

xS1=1.673 yS1=0.054

Środek poza trójkątem- okrąg dopisany

r=11.916

Można zapisać tkz. uogólnione twierdznie Pitagorasa :
b²=a²+c²-2·c·a_c gdzie x=a_c rzut a na c
lub twierdzenie Carnota [ twierdzrnie cosinusów ]
b²=a²+c²-2·a·c·cos(β)

Można również wykorzystać twierdzenie Carnota [ cosinusów ]
obliczając cosinus kąta β a następnie sinus kąta β

ha= 8.37 a=8.602 ==> S=1/2aha=36

hb= 8.485 b=8.485 ==> S=1/2bhb=36

hc= 6.519 c=11.045 ==> S=1/2chc=36

Po opuszczeniu modułu mamy 4 przypadki - należy wybrać
okrąg [układ równań], którego środek leży wewnątrz trójkąta

okrąg wpisany

$r=\frac { |1 \cdot xo + 11 \cdot yo+ 26 |} {\sqrt{ (1)^2 + (11)^2}}= \frac { |1 \cdot (1.673) + 11 \cdot (0.054)+ 26 |} {\sqrt{ (1)^2 + (11)^2}}$

r=2.559